Introduzione alla teoria di Galois | La rete universitaria

Descrizione

Una teoria classica molto bella sulle estensioni di campo di un certo tipo (estensioni di Galois) iniziata da Galois nel XIX secolo. Spiega, in particolare, perché non è possibile risolvere un'equazione di grado 19 o più nello stesso modo in cui risolviamo equazioni quadratiche o cubiche. Imparerai a calcolare i gruppi di Galois e (prima ancora) a studiare le proprietà di varie estensioni di campo.

Per prima cosa esamineremo le nozioni di base e le proprietà delle estensioni di campo: estensioni di campo algebriche, trascendentali, finite, grado di estensione, chiusura algebrica, campo di decomposizione di un polinomio.
Quindi faremo un po 'di algebra commutativa (algebre finite su un campo, cambiamento di base tramite prodotto tensoriale) e applicheremo questo per studiare la nozione di separabilità in dettaglio.
Dopodiché discuteremo le estensioni di Galois e la corrispondenza di Galois e daremo molti esempi (estensioni ciclotomiche, campi finiti, estensioni Kummer, estensioni di Artin-Schreier, ecc.).
Affronteremo la questione della risolvibilità delle equazioni mediante radicali (teorema di Abel). Cercheremo anche di spiegare la relazione con le rappresentazioni e con i rivestimenti topologici.
Infine, discuteremo brevemente le estensioni degli anelli (elementi integrali, norme, tracce, ecc.) E spiegheremo come utilizzare i primi di riduzione modulo per calcolare i gruppi di Galois.

PREREQUISITI
Un primo corso di algebra generale: gruppi, anelli, campi, moduli, ideali. È gradita una certa conoscenza dell'algebra commutativa (ideali primi e massimi - prime pagine di qualsiasi libro di algebra commutativa). Per gli esercizi avremo anche bisogno di alcuni fatti elementari sui gruppi e le loro azioni su insiemi, gruppi di permutazioni e, marginalmente,
l'affermazione dei teoremi di Sylow.

VALUTAZIONI
Un test settimanale e due esami più seri a metà e alla fine del corso. Per il risultato finale le prove contano circa il 30%, il primo esame (più breve) 30%, l'esame finale 40%.

Ci saranno due elenchi di esercizi non graduati (in sostituzione delle classi di esercizi inesistenti ...)

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